1단계: 초기값과 관계식
\(b_1=2\) (\(\varnothing,\{1\}\)), \(b_2=3\) (\(\varnothing,\{1\},\{2\}\))이다. \(\{1,\cdots,n+2\}\)의 조건을 만족시키는 부분집합 중 \(n+2\)를 포함하지 않는 것은 \(b_{n+1}\)개, 포함하는 것은 \(n+1\)을 포함할 수 없으므로 \(b_n\)개이다. 제시문 [가]에 의하여 \(b_{n+2}=b_{n+1}+b_n\)이다.

2단계: \(b_6\)
\(b_3=5, b_4=8, b_5=13, b_6=\mathbf{21}\)이다.

3단계: 원소 3개
택한 세 수 사이에 적어도 하나씩 간격이 있어야 하므로 직접 나열하면 \(\{1,3,5\},\{1,3,6\},\{1,4,6\},\{2,4,6\}\)의 \(\mathbf{4}\)개이다. (\({}_4\mathrm{C}_3=4\)와 일치)

최종 정답: (1) \(b_1=2, b_2=3\) (2) \(21\) (3) \(4\)

1단계: 넓이 식
\(\overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{1-t^2}\), 높이는 \(1+t\)이므로 \(S(t)=(1+t)\sqrt{1-t^2}\)이다.

2단계: 제곱 함수의 증감
\(F(t)=\{S(t)\}^2=(1-t)(1+t)^3\)이라 하면 \(F'(t)=(1+t)^2\{3(1-t)-(1+t)\}=(1+t)^2(2-4t)\)이다. \(t=\frac12\)의 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로 \(t=\frac12\)에서 최대이다.

3단계: 최댓값
\(S\left(\frac12\right)=\frac32\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\mathbf{\frac{3\sqrt3}{4}}\)이다.

최종 정답: (1) \(S(t)=(1+t)\sqrt{1-t^2}\) (2) \(t=\frac12\), \(\frac{3\sqrt3}{4}\)

1단계: 일반항
\(\dfrac{a_5}{a_2}=r^3=8\)에서 \(r=2\), \(a_1=3\)이므로 \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)이다.

2단계: 로그 수열의 합
\(b_n=\log_22^{n-1}=n-1\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k=\frac{n(n-1)}{2}\)이다.

3단계: 최솟값
\(a_1a_2\cdots a_n=3^n\cdot2^{n(n-1)/2}\)이므로 \(\dfrac{n(n-1)}{2}\gt40\)이다. \(n=9\)이면 \(36\), \(n=10\)이면 \(45\)이므로 최솟값은 \(\mathbf{10}\)이다.

최종 정답: (1) \(a_n=3\cdot2^{n-1}\) (2) \(\frac{n(n-1)}{2}\) (3) \(10\)

1단계: \(S(t)\)
\(x^2-2tx=x(x-2t)\)이므로 제시문 [가]에 의하여 \(S(t)=\dfrac{(2t)^3}{6}=\dfrac43t^3\)이다.

2단계: \(T(t)\)
\(x^2-2tx=x\)에서 \(x\{x-(2t+1)\}=0\)이므로 \(T(t)=\dfrac{(2t+1)^3}{6}\)이다.

3단계: \(t\)의 값
\(\dfrac{(2t+1)^3}{6}=8\cdot\dfrac{8t^3}{6}\)에서 \((2t+1)^3=(4t)^3\), \(2t+1=4t\)이므로 \(t=\mathbf{\frac12}\)이다.

최종 정답: (1) \(\frac43t^3\) (2) \(\frac{(2t+1)^3}{6}\) (3) \(t=\frac12\)